Grade, minute și secunde – povestea.

De ce grade, minute și secunde? Ce sunt milele marine? Ce sunt nodurile?

Nu știu câți dintre voi v-ați întrebat de ce ne orientăm cu grade, minute și secunde? Dacă avem minute și secunde, de ce nu ne orientăm cu ore, minute și secunde? De fapt, ce legătură au minutele de la ceas cu minutele de pe hartă. Și de ce sunt 60 de minute într-o oră și nu 100, ca la oamenii normali. Și până la urmă, de ce minute și nu kilometri? Adică, de ce nu putem să zicem că ne aflăm la 4323 Km N și 2345 Km E. Deși visez și îmi place să lucrez cu hărți, GIS, coordonate etc., recunosc că dacă îmi punea cineva întrebările astea înainte să scriu articolul acesta, m-aș fi blocat puțin.

Curiozitatea despre grade, minute și secunde s-a consolidat când îi exiplicam unei fete cum funcționează sextantul. La care ea:

-Aaaa sextant, ce mai nume!

De fapt, de fiecare dată când explic că sextantul se numește sextant, trebuie să existe tot felul de apropouri verbale, paraverbale și non-verbale. Mai puțin ultima dată, când, lângă noi se afla profesorul meu preferat de la Facultatea de Geologie care spune foarte senin și relaxat: -Păi vine de la 6. Atât știam și eu și îi spun: -Bine bine, dar ce-are a face cifra 6 cu unghiurile pe care le măsoară? (că, printre altele, asta face sextantul, măsoară unghiuri dintre obiecte aflate la distanțe mari). -Păi probabil Babilonienii, care foloseau baza 60 la numere. Sau mai bine zis Sumerienii din regiunea Mesopotamia, înainte de Hristos. Ei au vazut că 6 triunghiuri echilaterale intră într-un cerc.

Cu puțină cercetare ne dăm seama că utilizarea bazei 60 poate nu a fost tocmai întâmplătoare (o moștenire a babilonienilor de la sumerieni), existând totuși câteva avantaje: are foarte mulți divizori iar astfel simplifică utilizarea subdivizinilor (intregi) unor măsuri sau cantități. Alte teorii sugerează că utilizarea bazei 60 își are originea în cunoașterea astronomică de atunci: de exemplu, că un an avea 360 de zile. Alte justificări au pornit de utilizarea falangelor degetelor (mai puțin degetul mare) pentru numărătoare în baza 60 iar o serie de întâmplări evolutive au făcut ca această bază să decidă soarta unor convenții de azi. La fel cum, poate utilizarea celor 10 degete de la mână a generat sistemul numeric în bază 10. Sau poate două culturi, una ce utiliza baza 10 iar alta 6 s-au contopit (J J O’Connor & E F Robertson, 2000; Jacobson, 2013; Lamb, n.d.).

Bun, trecerea de la 60 la 360 e oarecum simplă, pentru că într-un cerc poți înscrie 6 triunghiuri echilaterale (unite la unul din vârfuri) ale căror laturi sunt egale cu raza cercului. Iar cum totul pornea de la baza 60 (inclusiv unghiul unui triunghi echilateral), 6×60=360. Povestea diviziunilor în minute și secunde e la rândul ei interesantă, însă cert este că din nou se folosește baza 60 iar denumirile diviziunilor sunt explicate de Ptolemeu (deși utilizarea lor era mai veche – Al-Biruni): partes minutae primae, partes minutae secundae –  prima parte mică, a doua parte mică (Scientific American, 2007). Pentru că forma pământului relaționează geometric cu cea a cercului, ne putem da seama în final de ce s-a ajuns la utilizarea gradelor, minutelor și a secundelor în sistemul de coordonate.

Mila marină (NM), reprezintă un minut (1/60 dintr-un grad) de latitudine în sistemul de coordonate (pentru că între diviziunile pe latitudine, putem spune că distanța este egală, în timp ce la meridiane, distanța dintre diviziuni se micșorează pe măsură ce te apropii de poli). Paradoxal, cuvântul milă (marină) își are originea în mille, adică o mie. Spun paradoxal, pentru că deși tot sistemul de coordonate își are originea în baza 60, va trebui să ne întâlnim des și cu baza 10, pornind de la celebra conversie: 1 milă marină, ce reprezintă 1852m. Și mai interesant este că definiția din 1791 a metrului îmi pare ca un mix cultural între baza 10 și 60, pentru că este o diviziune în baza 10 asupra ceva ce se analiza din perspeciva bazei 60: a milioana parte din distanța dintre ecuator și polul nord.

Viteza cu care ne deplasăm pe mare se măsoară în noduri, iar un nod reprezintă o milă marină pe oră. Le spunem noduri pentru că în secolul 17 se folosea o parâmă cu o bucată de lemn în capăt (pe post de ancoră de apă), care se lăsa în urma navei în timp ce aceasta se deplasa, trăgând după ea parâma. Parâma avea noduri la distanțe fixe, care se numărau într-un interval dat de timp, astfel aproximând viteza navei.

În acest moment ne dăm seama că unitățile și sistemele de măsură utilizate în navigație sunt foarte coerente, practice și elegante din punct de vedere istoric, cultural sau geografic. Cu toate acestea, nu ne putem limita la un singur sistem sau standard de coordonate ca fiind unicul și cel mai bun. Am văzut deja cu toții că există diverse modalități de a reprezenta coordonatele, în diferite formate sau chiar în diferite sisteme de referință: sistem de coordonate geografic, sistem de coordonate polar, grid, etc. Dar ca să nu o luăm pe arătură, o să explic pe scurt câteva formate pe care le întâlnim în navigație, mai ales în sistemele electronice (chart plotter).

Cum lucrăm cu grade minute și secunde?

Exemplul 1: Conversii între diferite formate

De multe ori, putem alege în opțiunile chart plotter-ului între diferite formate. În funcție de ce ne dorim (operații clasice, operații de precizie cu valori zecimale, utilizarea unui standard bine cunoscut etc.)

DMS – Degrees, minutes, seconds (grade, minute și secunde),

DD – Decimal degrees (grade zecimale)

DDM – Degrees, decimal minutes (grade, minute zecimale).

Exemplul 1a: dacă am identificat următoarea poziție pe latitudine (în DMS): 45° 30’ 0’’ N

Putem face conversia în DD, dar e important să înțelegem ce reprezintă acest DD:

În baza 10, jumătatea unui minut ar fi 0.5 (echivalentul a 30 de secunde). Similar, dacă ne uităm la coordonata de mai sus, observăm că avem 30 de minute, după cele 45°. Adică la jumătatea distanței dintre 45° și 46°, adică, în DD: 45.5°.

Ca să rezolvăm conversia matematic, împărțim minutele la 60 și secundele la 3600 (pentru a le aduce in intervalul 0-1), apoi adunăm gradele cu valorile de după împărțire: 45° + (30/60) + (0/3600) = 45+0.5 = 45.500° N.

Pentru DDM, vom păstra gradele și minutele însă precizia minutelor nu va fi dată de secunde ci de subdiviziuni zecimale ale minutelor. În cazul de mai sus, vom reprezenta simplu: 45° 30.000’ N. Iar matematic, va trebui să împărțim doar secundele la 60 (pentru că ne raportăm la minut, nu la oră) și să adunăm rezultatul cu minutele.

Exemplul 1b: pentru coordonata 45° 58’ 10’’, conversiile vor fi:

DD: 45 + 58/60 + 10/3600 = 45.960° N (unde putem veni cu ce precizie dorim, după virgulă).

DDM: 45, 58 + 10/60 = 45° 58.166’ N (unde putem veni cu ce precizie dorim, după virgulă).

Acum că ne-am familiarizat cu coordonatele, următorul exemplu va fi despre coordonate, distanță și timp. Pentru că vrem să știm unde e taverna și în cât timp ajungem la ea.

Exemplul 2: Coordonate, distanță, timp

Știm că o milă marină este un minut de latitudine. Dacă ne-am deplasa strict de la sud la nord e simplu, pentru că ne mișcăm doar pe latitudine. Deci dacă plecăm de la 45° 35.000’ și vrem să ajungem la 46° 12.000’, trebuie să aflăm câte minute avem de parcurs, adică să calculăm diferența dintre coordonate.

46° 12.000’ – 45° 35.000’ = 45° 72.000’ – 45° 35.000’ = 0° 37’. Adică, 37 de mile (NM). *Fiecare e liber să calculeze cum știe, eu am facut o mare șmecherie: am furat un grad (60 minute) de la 46 și l-am adunat la minutele deja existente.

Bun, dar în cât timp ajungem la tavernă? Păi fără niciun dubiu, știm din generală și din liceu că timpul = distanta/viteză. Iar noi știm că velierul nostru merge cu 5 noduri (5 mile pe oră).

Astfel, timpul va fi: 37/5 = 7.4 h. Dar atenție, nu vorbim de 7 ore și 40 de minute, ci chiar 7.4 ore. Ca să aflăm câte minute, înmulțim 0.4 cu 60 = 24 minute. Deci 7 ore și 24 de minute până la tavernă. Sper că nu am greșit.

Exemplul 3: Călătorie către taverna din Limnos (Între punctele A și B de pe hartă). Coordonate, conversii, distanță și timp.

Pasul 1. Identificăm cele 2 puncte pentru a planifica un drum.

Pasul 2. Identificăm coordonatele fiecărui punct, utilizând scara verticală pentru latitudine și cea orizontală pentru longitudine. Identificăm care diviziuni sunt pentru grade și care sunt pentru minute. Gradele sunt cu cifre ingroșate și în plus au și liniile de ghidaj negre de pe hartă. Observăm că pe această hartă diviziunile mici reprezintă fiecare câte un minut (între 39° 50’ și 40° sunt 10 minute și 10 diviziuni).

Pasul 3. Identificăm coordonatele (lat, long) pentru fiecare punct prin trasarea unor linii ajutătoare, paralele cu marginile hărții sau cu liniile de ghidaj.

A: 39° 48’ 20” N, 24° 52’ 0” E

B: 39° 52’ 40” N, 25° 3’ 20” E

Pasul 4. Dacă avem nevoie să lucrăm cu chart plotter-ul în format DD, facem conversia, de exemplu, pentru punctul B: 39 + 52/60 + 40/3600 = 39 + 0.8666 + 0.0111 = 39.8777 N, 25 + 3/60 + 20/3600 = 25 + 0.05 + 0.0055 = 25.0555 E, deci perechea de coordonate va fi: 39.8777 N, 25.0555 E. Pentru alte formate folosim regulile de mai sus.

Pasul 5. Calculăm distanța. Pentru a calcula distanța, folosim divider-ul (gheară compas navigație) pe care il poziționăm între cele 2 puncte, apoi îl mutăm (fără să modificăm deschiderea) pe axa de latitudine (! neapărat pe latitudine, în dreptul traseului), unde măsurăm câte minute sunt între cele 2 ace ale divider-ului. De obicei, pornești de la o valoare întreagă din apropiere (ex. 40’). În cazul nostru, observăm că distanța este de aproximativ 9’ și 40”. Adică 9+40/60=9.66 minute zecimale (pe principiul conversiilor discutate), adică 9.66 NM (mile marine). Aproximativ 17.9 Km. Dar pe mare nu ne plac kilometrii, așa că rămânem la mile marine (că nu ne plac nici milele alea de uscat). Tip: pentru distanțe f mari, nu trebuie să crăcănăm divider-ul neomenește, ci putem să alegem o unitate (ex: 5 NM) pe care să o repetăm, pivotând dividerul de pe un picior pe altul, pe toată lungimea traseului, iar la sfârșit măsurăm distanța rămasă pe care o comparăm iar pe scară.

Pasul 6. Calculăm în cât timp ajungem de la pct. A, la pct. B, presupunând că velierul nostru merge în medie cu 5 noduri, adică 5 mile pe oră. 9.66/5 = 1.932 ore. Dar dacă spuneți la tavernă că ajungeți în 1.9 ore, o să iasă cu scandal. Trebuie să calculăm 0.932*60 = 55.92 minute. Iar pentru secunde, mai facem 0.92*60 = 55.2 secunde sau 55 de secunde și 2 zecimi? Deci anunțăm că ajungem îm 1 oră, 55 minute, 55 secunde. Bine, în toată logica de mai sus, le putem spune că ajungem în 1 grad, 55 minute, 55 secunde.

George Kudor

Bibliografie:

J J O’Connor & E F Robertson. (2000). Babylonian numerals. Maths History. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals/

Jacobson, R. (2013, July 8). 60: Behind Every Second, Millenniums of History. The New York Times. https://www.nytimes.com/2013/07/09/science/60-behind-every-second-millenniums-of-history.html

Lamb, E. (n.d.). The Joy of Sexagesimal Floating-Point Arithmetic. Scientific American Blog Network. Retrieved January 12, 2023, from https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-joy-of-sexagesimal-floating-point-arithmetic/

Scientific American. (2007). Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day? Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/experts-time-division-days-hours-minutes/

Bonus: Relatia dintre timp și longitudine.

Orice paralelă definește un cerc în jurul pământului, pe care îl putem împărți în 360° (sau 360 de meridiane care intersectează acel cerc). Pământul la rândul lui se rotește complet în 24 de ore. Deci pentru fiecare oră, pământul se rotește 15° (360/24). Pentru a ne da seama ce distanță am parcurs pe longitudine, va trebui să calculăm ”câte ore am pers pe longitudine”, iar pentru asta avem nevoie de un reper astral: soarele, pentru care putem deduce în fiecare zi, la ce oră are loc culminația sa (amiaza/solar noon). Dacă la Greenwich punctul de culminație are loc la ora 12:00, iar într-un punct necunoscut de pe mare, culminația e la ora 14:00 (o aflăm cu sextantul și cu cronometrul), atunci acea diferență de 2 ore, reprezintă o diferență de 30° (15° pe oră) pe longitudine. Așa cum se menționează și în clipul de mai jos, merită citit mai mult despre John Harrison, iar eu voi face un tutorial despre utilizarea sextantului și a cronometrului maritim.